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交流

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コイルの角度によって貫く磁束の本数が変化する

交流発電機において、コイルを貫く磁束がどのように変化するか考えてみます。

一様な磁場の中に1巻きのコイルがあり、コイル面の法線と磁場の向きとのなす角を θ とします。

この角度が θ = 0 のときにコイルを貫く磁束の本数が最大になりますが、この最大のときの磁束を Φ0 [Wb] とします。もし、磁束密度B [Wb/m2] 、コイルの面積を S [m2] とすると Φ0 = BS です。
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コイルが傾いていくと、コイルを貫く磁束の本数は減っていきます

コイルの傾きが θ のとき、コイルを貫く磁束 Φ は、

  Φ = Φ0cosθ です

コイルの回転の角速度ω [rad/s] とすると、t 秒後のコイルの角度は θ = ωt であり、そのときのコイルを貫く磁束は、

  Φ = Φ0cosωt

となります。

(念のため、確認)

θ = θ' です。

回転の角度はどこを基準にしてもOKです。


誘導起電力の大きさ

次にコイルに発生する誘導起電力の大きさについて考えてみます。

電磁誘導の法則によれば、その大きさ V [V] は、

    V = - \(\large{\frac{ΔΦ}{Δt}}\)   (今は1巻きです)

です。これに Φ = Φ0cosωt を代入しますと、

    V = - \(\large{\frac{ΔΦ_0 \cosωt}{Δt}}\)

Φ0 は定数だから、

    V = - Φ0\(\large{\frac{Δ\cosωt}{Δt}}\)

で、\(\large{\frac{Δ\cosωt}{Δt}}\) というのは cosωt の微分のことで、それは - ωsinωt になります。(補足ページで微積を習ってない方のための解説を書きましたのでお読みください)。つまり、

    V = - Φ0\(\large{\frac{Δ\cosωt}{Δt}}\) = - Φ0 ( - ωsinωt ) = Φ0ωsinωt

です。sin というものは最大値が 1 で最小値が -1 です。sinx であっても sinωt であってもです。ですので、V = Φ0ωsinωt の最大値は Φ0ω で最小値は - Φ0ω です。この Φ0ω という値を V0 とおきます。誘導起電力の最大値です。 V に付く添字の 0 についてですが、
これは θ=0 のときの V の値、という意味ではありません。
実際に V が最大になるのは θ=90° のときです。
上の方の説明において、「θ=0 のときの Φ の値を Φ0 」としましたので、話が紛らわしくなってしまって申し訳ないのですが、添字の 0 は角度のことではなくて、「最大」とか「基本となる量」というような意味合いです。
Vm と表現することもあります。max の m です。
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回転するコイルの誘導起電力

 V = V0 sinωt

 V0 = Φ0ω

このように変化する起電力を交流電圧といい、交流電圧を抵抗器に加えたときに流れる電流を交流電流または交流といいます。

誘導起電力のグラフ

Φ = Φ0cosωt のグラフ、\(\large{\frac{ΔΦ}{Δt}}\) のグラフ、V = V0sinωt のグラフを回転するコイルのイラストと共に描いてみます。

Φ = Φ0cosωt を V = - \(\large{\frac{ΔΦ}{Δt}}\) に代入して得た式が V = V0sinωt であるわけですが、

グラフの青の曲線の傾きが紫の曲線になっていて、紫の曲線を上下反転させたものが赤の曲線になっています。

赤の曲線が交流電圧のグラフです。コイル面が磁場と平行になったときに最大となり、コイル面が磁場と垂直になったときに 0 になります。

波動の復習

交流電圧のグラフは波動そのものですが、ここで『波動』項、『正弦波』項、『単振動』項で学んだことを復習してみます。

コイルが1回転するのに要する時間を周期といい、T で表します。単位は [s] です。

1秒間に回転する回数を周波数(振動数)といい、f で表します。単位は [Hz] です。

1秒間に回転する角度を角周波数(角速度)といい、ω で表します。単位は [rad/s] です。

コイルが1回転するのに4秒かかったとしたら、1秒間に回転する回数は \(\large{\frac{1}{4}}\)回で、1秒間に回転する角度は \(\large{\frac{π}{2}}\)rad です。
T = 4 s であり、f = \(\large{\frac{1}{4}}\) Hz であり、ω = \(\large{\frac{π}{2}}\) rad/s です。

つまり、

    f = \(\large{\frac{1}{T}}\) = \(\large{\frac{ω}{2π}}\)

です。これは T = \(\large{\frac{1}{f}}\) 、T = \(\large{\frac{2π}{ω}}\) 、ω = 2πf などと書き換えられ、

V = V0sinωt も V = V0sin2πft あるいは V = V0sin2π\(\large{\frac{t}{T}}\) と書き換えられます。

周期運動のどのタイミングであるかを表す量を位相といい、これは記号で表すことは少ないですが表すとすれば θ または ωt です。単位も省略することが多いですが表すとすれば rad です。

A点とC点は位相が同じです。A点とB点は位相が π ズレています。

a波とb波は位相が同じです。c波はa波より位相が \(\large{\frac{π}{2}}\) 進んでいます。

位相は 2π 進むと元に戻ります。


別解

誘導起電力の大きさを求める方法はもう一つあります。「 V = vBl 」を使うやり方です。補足ページで解説しましたのでお読みください。

電源周波数

各家庭に送られてくる電気は直流ではなく交流です。日本ではその周波数が東日本(50Hz)と西日本(60Hz)で違っていて、それに至った経緯がに詳しく載っています。